Geometría de las ecuaciones lineales

1) Para las ecuaciones:

 x +y = 4
2x - 2y = 4

trace la representación por renglón (dos rectas que se cortan), y la representación por columna (combinación de dos columnas igual al vector columna (4, 4) en el miembro derecho)

Solución

2) Resuelva lo siguiente para encontrar una combinación de las columnas que sea igual a b:

u-v-w=b_1\\v+w=b_2\\w=b_3

Solución

3) Describa la intersección de los tres planos

u + v + w + z = 6\\u + w + z = 4\\u + w = 2

(todos en el espacio tetradimensional). ¿Es una recta, un punto o un conjunto vacío? ¿Cuál es la intersección si se incluye el cuarto plano u = -1? Encuentre una cuarta ecuación que deje la situación sin solución.

4) Trace las tres rectas siguientes, y decida si las ecuaciones son de fácil solución:

x+2y=2\\x-y=2\\y=1

¿Qué ocurre si todos los miembros derechos son cero? ¿Hay alguna opción diferente de cero de miembros derechos que permita que las tres rectas se cortan en el mismo punto?

Solución

5) Encuentre dos puntos en la recta de intersección de los tres planos

t = 0\\z=0\\x + y + z + t = 1

en el espacio de 4 dimensiones.

6) Cuando b = (2, 5, 7), encuentre una solución (u, v, w) de la ecuación (4) distinta de la solución (1, O, 1), mencionada en el texto.

7) Proporcione dos miembros derechos más, aparte de b = (2, 5, 7) para los cuales la ecuación (4) pueda resolverse. Proporcione dos miembros derechos más, aparte de b = (2, 5, 6) para los cuales la ecuación (4) no pueda resolverse.

8) Explique por qué el sistema

u+ v+ w=2 \\ u+ 2v + 3w = 1 \\ v+ 2w = 0

es singular, encontrando una combinación de las tres ecuaciones que produzca O = 1. ¿Qué valor debe sustituirse en el último cero del miembro derecho para que las ecuaciones tengan soluciones, y cuál es una de las soluciones?

9) La representación por columna del ejercicio anterior (sistema singular) es

u\left[ \begin{array}{c} 1\\1\\0 \end{array}\right]+v\left[ \begin{array}{c} 1\\2 \\1 \end{array}\right]+w\left[ \begin{array}{c} 1\\3 \\2 \end{array}\right]=b

Demuestre que las tres columnas de la izquierda están en el mismo plano, expresando la tercera columna como una combinación de las dos primeras. ¿Cuáles son las soluciones (u, v, w) si b es el vector cero (0, O, O)?

10) ¿Bajo qué condición sobre y_1, y_2 , y_3 los puntos (0, y_1), (1, y_2), (2, y_3) están en una línea recta?

11) Es cierto que la solución de las siguientes ecuaciones es x = y = O. ¿Para qué valores de a hay toda una recta de soluciones?

ax+ 2y =0 \\ 2x +ay= 0

12) Empezando con x + 4y = 7, encuentre la ecuación de la recta paralela que pasa por x = 0, y = 0. Encuentre la ecuación de otra recta que corta a la primera en x = 3, y=1.

13) Trace las dos representaciones en dos planos para las ecuaciones:

 x - 2y = 0\\ x + y = 6

14) Para dos ecuaciones lineales en tres incógnitas x, y, z, la representación por renglón muestra (2 o 3) (rectas o planos) en un espacio (bi o tri) dimensional. La representación por columna es en un espacio (bi o tri) dimensional. Las soluciones normalmente están en un …………………………….. .

15) Para cuatro ecuaciones lineales en dos incógnitas x y y, la representación por renglón muestra cuatro …………… . La representación por columna está en un espacio ………………. dimensional. Las ecuaciones no tienen solución, a menos que el vector del miembro derecho sea una combinación de …………….. .

16) Encuentre un punto con z = 2 en la recta de intersección de los planos

x + y + 3z = 6\\x - y + z = 4

Encuentre el punto con z = 0 y un tercer punto a la mitad entre los
dos puntos anteriores.

17) La primera de las siguientes ecuaciones más la segunda es igual a la tercera:

x+ y+ z=2\\x+ 2y + z = 3\\2x + 3y + 2z = 5

Los dos primeros planos se encuentran a lo largo de una recta. El tercer plano contiene a esta recta, ya que si x, y, z satisfacen las dos primeras ecuaciones, entonces también ……………………. .Las ecuaciones tienen una infinidad de soluciones (toda la recta L). Encuentre las tres soluciones.

18) Mueva el tercer plano en el problema 17 hasta un plano paralelo 2x + 3y + 2z = 9. Ahora, las tres ecuaciones no tienen solución; ¿por qué? Los dos primeros planos se encuentran a lo largo de la recta L, pero el tercero no ……………………….. esa recta.

19) En el problema 17, las columnas son (1, 1, 2) y (1, 2, 3) y (1, 1, 2). Este es un “caso singular” porque la tercera columna es ………………………. . Encuentre dos combinaciones de las columnas que proporcionen b = (2, 3, 5). Esto sólo es posible para b = (4, 6, c) si c = ……………………….

20) Normalmente, 4 “planos” en el espacio tetradimensional se cortan en un ………………….. . Normalmente, 4 vectores columna en el espacio de 4 dimensiones pueden combinarse para producir b. ¿Qué combinación de (1, O, O, O), (1, 1, O, O), (1, 1, 1, O), (1, 1, 1, 1) produce b = (3, 3, 3, 2)? ¿Cuáles son las 4 ecuaciones que está resolviendo para x, y, z, t?

21) Cuando la ecuación l se suma a la ecuación 2, ¿cuál de las siguientes opciones cambia: los planos en la representación por renglón, la representación por columna, la matriz de coeficientes, la solución?

22) Si (a, b) es un múltiplo de (c, d) con abcd \neq 0, demuestre que (a, c) es un múltiplo de (b, d). Esto es sorprendentemente importante: denomínela pregunta de desafío. Primero puede usar números para ver cómo están relacionados a, b, c y d. La pregunta lleva a:

Si A =\left[ \begin{array}{cc} a & b\\c & d \end{array}\right] tiene renglones dependientes, entonces tiene columnas dependientes.

Solución

23) En estas ecuaciones, la tercera columna (que multiplica a w) es la misma que el miembro derecho b. La forma en columna de las ecuaciones, ¿qué solución para (u, v, w) proporciona de inmediato?

6u +7v +8 w=8\\4u+5v+9w=9\\2u-2v+7w=7

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Propiedades de los espacios vectoriales

Sea V un espacio vectorial sobre K.

Vector nulo

Si o\in V es el vector que verifica:

x+o=o+x=x, \forall x \in V

El vector o lo llamamos vector nulo.

El vector nulo es único.

Vector opuesto

Para cada x del espacio vectorial podemos encontrar otro vector x’ que verifique:

\forall x \in V, \exists x' \in V: x+x'=x'+x=o

Al vector x' lo llamamos vector nulo y lo representamos por -x.

El vector opuesto es único.

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