Análisis – Ejercicio 2.7.14

Si se lanza una roca verticalmente hacia arriba en el planeta Marte con una velocidad de 10 m/s, su altura (en metros) después de t segundos está dada por H = 10t - 1.86t^2.

a) Halle la velocidad de la roca después de un segundo.
b) Halle la velocidad de la roca cuando t = a.
c) ¿Cuándo caerá la roca a la superficie?
d) ¿Con qué velocidad la roca chocará contra la superficie?

Solución

Análisis – Ejercicio 2.7.42

Se saca un pavo asado del horno cuando su temperatura ha alcanzado 185°F y se coloca sobre la mesa de un cuarto donde la temperatura es de 75°F. En la gráfica se muestra cómo disminuye la temperatura del pavo y, finalmente, tiende a la temperatura del cuarto. Por medio de la medición de la pendiente de la recta tangente, estime la razón de cambio de la temperatura después de una hora.

Análisis – Ejercicio 2.7.43

La tabla muestra el número N de usuarios de telefonía celular en EU. (Se proporcionan estimaciones semestrales.)

a) Halle la razón de crecimiento promedio de celulares
i) de 2002 a 2006
ii) de 2002 a 2004
iii) de 2000 a 2002
En cada caso, incluya las unidades.

b) Estime la razón de crecimiento instantáneo en 2002 tomando dos razones de cambio promedio. ¿Cuáles son sus unidades?

c) Estime la razón de crecimiento instantáneo en 2002 midiendo la pendiente de una recta tangente.

Análisis – Ejercicio 2.7.44

En la tabla se proporciona el numero N de establecimientos
de una popular cadena de cafeterías. (Se dan los números de
establecimientos al 1 de octubre.)

a) Determine la tasa promedio de crecimiento
i) desde 2006 hasta 2008
ii) desde 2006 hasta 2007
iii) de 2005 hasta 2006
En cada caso incluya las unidades.

b) Estime la razón de crecimiento instantáneo en 2006 considerando dos razones de cambio promedio. ¿Cuáles son sus unidades?

c) Estime la razón de crecimiento instantáneo en 2006 midiendo la pendiente de una recta tangente.

d) Estime la razón de crecimiento instantáneo en 2007 y compárela con la razón de crecimiento en 2006. ¿Qué concluye?

Análisis – Ejercicio 2.7.45

El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo
es C(x)=5 000 + 10x + 0.05x^2.

a) Encuentre la razón de cambio promedio de C respecto a x,
cuando cambia el nivel de producción:
i) de x = 100 a x = 105
ii) de x = 100 a x = 101

b) Halle la razón de cambio instantáneo de C respecto a x, cuando x=100. (Esto se conoce como costo marginal).

Análisis – Ejercicio 2.7.46

Si un tanque cilíndrico contiene 100 000 galones de agua que
se pueden drenar por el fondo del depósito en 1 h, entonces la
ley de Torricelli da el volumen V del agua que queda después
de t minutos como

V(t)=100000(1-\frac{1}{60}t)^2, \quad 0 \leq t \leq 60

Encuentre la rapidez con que fluye el agua hacia afuera del tanque (la razón de cambio instantáneo de V respecto a t) como función de t. ¿Cuáles son sus unidades? Para los instantes t = 0, 10, 20, 30, 40, 50 y 60 min, encuentre el gasto y la cantidad de agua que queda en el tanque. Resuma sus hallazgos en una frase o dos. ¿En qué instante el gasto es máximo? ¿Cuándo es mínimo?

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