Elementos – Proposición I.1

Elementos – Euclides – Libro I – Proposición 1

Construir un triángulo equilátero a partir de un segmento dado.

Construcción

Sea AB el segmento dado.

Construimos la circunferencia de centro A y radio AB.
Construimos la circunferencia de centro B y radio BA.

Marcamos C, uno de los puntos de intersección de las dos circunferencias.

Construir los segmentos AC y BC.

AB y AC son iguales, porque son radios de la misma circunferencia.
AB y BC son iguales, porque son radios de la misma circunferencia.

Por transitividad, AB = BC = CA

Por lo tanto, el triángulo ABC es equilátero.

Elementos – Proposición I.4

Elementos – Euclides – Libro I – Proposición 4

Si dos triángulos tienen dos lados del primero iguales a dos lados del segundo y tienen iguales los ángulos comprendidos por los lados iguales, tendrán también las bases iguales y un triángulo será igual al otro, y los ángulos restantes serán iguales respectivamente.

En otras palabras:
Estamos hablando del criterio LAL.

Elementos – Proposición I.8

Elementos – Euclides – Libro I – Proposición 8

Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, y también tienen la base igual, también tendrán iguales los ángulos comprendidos por los segmentos iguales.

Estamos hablando del criterio de congruencia de triángulos LLL.