Rectas verticales y horizontales en el plano

Preliminares

Consideraremos para el estudio de rectas,  R^2 el plano ordinario formado por los pares ordenados (x,y) de números reales, cada par ordenado es un punto del plano.  P(x,y) es el punto de coordenadas x e y,  x es la abscisa de P e y es la ordenada de P. Representaremos a los puntos en un sistema de coordenadas cartesiano.

También trabajaremos con vectores libres. (3,2) podrían ser las coordenadas del punto P o podrían indicar las componentes de un vector u.

El vector es libre, con eso queremos indicar que no depende de su origen.

Los vectores  \vec{AB} y \vec{CD} son iguales al vector dado que tienen las mismas componentes (3,2).

Recordemos que, dados dos puntos, el origen y el extremo de un vector, sus componentes de se encuentran restando las coordenadas.

Origen  A(x_1,y_1) y extremo b(x_2,y_2)

\vec{AB}=B-A=(x_2 - x_1, y_2 - y_1)

Dados dos puntos A(x_1,y_1) y B(x_2,y_2) la distancia se obtiene a partir de:

d(A,B)=AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

Rectas verticales y rectas horizontales

Consideremos la recta r en el plano, paralela al eje y pasa por el punto (2,0).

¿Qué tienen en común sus puntos?

Observamos que todos sus puntos tienen abscisa igual a dos, es decir que, su primera coordenada es siempre la misma. Como ya dijimos anteriormente, para indicar la abscisa de un punto usamos la letra x y para la ordenada usamos la letra y.

Nuestra recta se caracteriza por:

x=2

o su equivalente:

x-2=0

El eje y quedará representado por:

x=0

La expresión

x=a

Representa una recta vertical que pasa por el punto (a,0).

De la misma manera trabajaremos con las rectas horizontales.

Consideremos la recta del gráfico:

¿Qué tienen en común sus puntos?

Todos los puntos tienen ordenada igual a 3. Como ningún otro punto del plano que no esté en la recta tiene ordenada 3 y todos los puntos de la recta cumplen esa condición, la siguiente ecuación representa únicamente a dicha recta.

y=3

O su equivalente:

y-3=0

El eje x, que es una recta horizontal en particular tiene ecuación, y=0.

Entonces tenemos que la expresión:

y=b

Representa una recta horizontal el plano cartesiano que pasa por el punto (0,b).

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Abscisa de un punto

En la recta de los números reales se considera al cero como origen porque esto permite asignar a todos los puntos ubicados a su derecha valores positivos y a todos los ubicados a su izquierda, valores negativos. Así, para indicar la posición del punto A en la recta le asignamos su valor correspondiente;
esto es, su coordenada, llamada abscisa. Por ejemplo, A (5) indica que el punto A se encuentra a cinco unidades a la derecha del origen.

La abscisa del punto A es 5.

Se escribe A(5).

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Los puntos de la recta y los números reales

Un concepto fundamental en geometría analítica es la representación de todos los números reales mediante puntos en una recta. Recordemos que los números reales están formados por los números positivos, los negativos y el cero. Para establecer la representación deseada, primero se escoge en una recta una dirección como la positiva. Y se elige un punto O de la recta, al cual se le llama origen, para representar el número cero. A continuación se marcan puntos a las distancias 1, 2, 3,… Y así sucesivamente, unidades a la derecha del origen. Entonces, los puntos así localizados representan los números 1, 2, 3, etcétera. De la misma manera,.se localizan puntos a la izquierda del origen para representar los números -1, -2, -3, Y así sucesivamente. Ya se han asignado puntos a los enteros positivos, a los enteros negativos y al entero cero. Los números cuyo valor esté entre dos enteros consecutivos tienen sus puntos correspondientes entre los puntos asociados con dichos enteros.
De este modo, el número 2 1/4 corresponde al punto que se halla 2 1/4 unidades a la derecha del origen. En general, cualquier número positivo P se representa con el punto que se encuentra P unidades a la derecha del origen, y un número negativo Q se representa con el punto Q unidades a la izquierda del origen. Además, se supone que todo número real corresponde a un punto en la recta y, recíprocamente, que todo punto en la recta corresponde a un número real. Esta relación del conjunto de los números reales y el conjunto de puntos de una recta dirigida se llama correspondencia uno a uno, también suele decirse que existe una biyección entre los puntos de la recta y los números reales.

La recta coordenada, cuyos puntos corresponden a los números reales,
se llama recta numérica real. El número que corresponde a un punto sobre la recta se llama coordenada del punto. Puesto que los números positivos corresponden a puntos en la dirección escogida como positiva a partir del origen y los números negativos corresponden a puntos en la dirección opuesta o negativa a partir del origen, entonces las coordenadas de los puntos sobre una recta numérica se consideran como distancias dirigidas a partir del origen. Por conveniencia, algunas veces se hablará de un punto como si fuera un número y viceversa.

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Parábola – Ejercicio 5

Graficar la parábola:

x^2=24y

Sugerencias para trazar una parábola conociendo su ecuación

  1. Localiza el vértice V. (Hasta este momento, únicamente hemos visto parábolas con vértice en el origen, pero más adelante veremos el caso general.)
  2. Determina el valor de p, es decir, la distancia del vértice al foco.
  3. Establece si la parábola es horizontal o vertical, de acuerdo con la variable que esté elevada al cuadrado.
  4. Determina hacia qué lado abre la parábola de acuerdo con el signo del coeficiente de 4p.
  5. Localiza el foco F que se encuentra a p unidades hacia arriba, abajo, la derecha o la izquierda del vértice, de acuerdo con la dirección hacia donde abre la parábola.
  6. Dibuja el eje de la parábola, que es la recta que une el vértice y el foco.
  7. Traza la recta que contiene el lado recto, la cual es la recta que pasa por el foco y es perpendicular al eje de simetría.
  8. Sobre esta recta, localiza los extremos del lado recto, los cuales se encuentran a 2p unidades del foco.
  9. Localiza algunos otros puntos de la parábola asignando valores a la variable que se encuentra elevada al cuadrado y encuentra los valores correspondientes de la otra variable.