Ángulos correspondientes

Al tener los ángulos entre dos rectas cortadas por una transversal llamamos ángulos correspondientes a los pares de ángulos que cumplen las siguientes condiciones:

  • Los ángulos se encuentran en el mismo semiplano respecto a la recta transversal.
  • Si un ángulo es interno el otro es externo.
  • Los ángulos no son adyacentes.
Los ángulos \alpha y \epsilon son ángulos correspondientes.

Entre dos rectas cortadas por una transversal tenemos cuatro pares de ángulos correspondientes.

  • \alpha \ ;\ \epsilon
  • \beta \ ; \ \zeta
  • \gamma \ ; \ \eta
  • \delta \ ; \ \theta

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Ángulo entre rectas cortadas por una transversal

Sean a, b dos rectas cortadas por una recta secante a ellas, que llamaremos transversal.

Sin tener en cuenta los ángulos nulos o llanos, en cada punto de intersección (A y B) de la recta secante t con las rectas a y b, quedan formado 8 ángulos.

Cuatro ángulos con vértices en A.

\alpha, \beta, \gamma, \delta

Cuatro ángulos con vértice en B.

\epsilon, \zeta, \eta, \theta

De esos ángulos llamaremos:

Ángulos internos: a los ángulos cuyo interior, en parte, están entre las rectas a y b. (Ángulos en azul)

Ángulos externos: a los ángulos cuyo interior no tiene intersección con los puntos entre las rectas a y b. (Ángulos en marrón).

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Teorema 16: Teorema del triángulo isósceles

Un triángulo es isósceles si y solo si tiene dos ángulos congruentes.

El teorema nos dice dos cosas:

  • Si un triángulo es isósceles, entonces tiene dos ángulos congruentes.
  • Si un triángulo tiene dos ángulos congruentes, entonces es isósceles.

En un triángulo ABC

Dos lados congruentes \Rightarrow dos ángulos congruentes.
Dos ángulos congruentes \Rightarrow dos lados congruentes.

Si lo escribimos en una oración quedaría así:

Dos lados congruentes \Leftrightarrow dos ángulos congruentes.

Demostración

Es una consecuencia inmediata del Teorema 13 y del Teorema 15. Cada teorema es una de las implicaciones utilizadas.

Corolario 4: Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes

Corolario
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

Demostración

Sean \alpha y \gamma dos ángulos opuestos por el vértice.

El ángulo \beta es adyacente a ambos.

Usando el Teorema 14 que nos dice que los adyacentes a ángulos congruentes son congruentes nos queda que:

\beta es adyacente a \alpha.

\beta es adyacente a \gamma.

Y como \beta es congruentes con sí mismo por la propiedad reflexiva del Axioma 3.5, tenemos que \alpha \cong \gamma