21 – Axiomas de Hilbert

Axioma de las paralelas

V Postulado de Euclides

Si dos rectas distintas r y s, coplanares cortadas por una secante t en puntos distintos, forman con ella en el semiplano πt dos ángulos internos de tal manera que la suma de sus medidas sea menor que 180º, entonces las dos rectas se cortan en algún punto del semiplano πt.

Osea que α + β < 180°

Postulado de Playfair

Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela a la recta.

Axiomas de Congruencia

Axioma III.1 – Axioma de construcción del segmento

Sea AB un segmento cualquiera y sea s una semirrecta de origen P, entonces existe un único Q en s tal que el segmento AB es congruente con el segmento PQ.

Axioma III.2

La congruencia de segmentos es una relación de equivalencia.

Axioma III:3 – Suma y resta de segmentos

Si AB es congruente con PQ y BC con QR.
Entonces: AC es congruente con PR.
Si AC es congruente con PR y AB con PQ.
Entonces: BC es congruente con QR.

Axioma III.4 – Axioma de construcción de un ángulo

Sea AOB un ángulo, entonces en un semiplano cualquiera de borde QP existe una única semirrecta QR tal que el ángulo AOB es congruente con el ángulo PQR.

Axioma III.5

La congruencia de ángulos es una relación de equivalencia.

Axioma III.6 – Suma y resta de ángulos

A, O, B y C pertenecen a un plano y P, Q, R y S pertenecen a otro plano cualquiera.
Sean AOB, PQR y BOC, RQS dos pares de ángulos congruentes.
Entonces el ángulo AOC es congruente con el ángulo PQS.
Sean AOC, PQS y AOB, PQR dos pares de ángulos congruentes.
Entonces el ángulo BOC es congruente con el ángulo RQS.

Axioma III.7 – Criterio de congruencia LAL

Si dos triángulos tienen dos pares de lados correspondientes congruentes y los ángulos comprendidos congruentes, entonces los triángulos son congruentes.

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Axiomas de orden

Axioma II.1

Si el punto P se encuentra entre el punto A y el punto B, entonces A, P y B son puntos distintos de una misma recta y P se encuentra entre B y A.

Axioma II.2

Dados dos puntos distintos A y B, existe al menos un punto P sobre la recta AB tal que P está entre A y B.

Axioma II.3

Dados dos puntos distintos A y B, existe al menos un punto Q sobre la recta AB, tal que B está entre A y Q.

Axioma II.4

Dados tres puntos distintos de una recta, uno y solo uno de ellos está entre los otros dos.

Axioma II.5

Si P está entre A y B, y B está entre A y C, entonces P está entre A y C.

Axioma II.6 – Axioma de separación de la recta.

Un punto O de una recta r divide a todos los demás puntos de la recta en dos conjuntos disjuntos no vacíos, de tal manera que si dos puntos cualesquiera pertenecen al mismo conjunto, O no se encuentra entre ellos, mientras que si dos puntos cualesquiera pertenecen a conjuntos diferentes, entonces O se encuentra entre ellos.

Axioma II.7 – Axioma de separación del espacio

Toda recta r incluida en un plano divide a todos los demás puntos del plano en dos conjuntos disjuntos no vacíos, de tal manera que si dos puntos cualesquiera pertenecen al mismo conjunto la intersección del segmento que ellos determinan no tiene intersección con la recta r, mientras que dos puntos cualesquiera pertenecientes a conjuntos diferentes determinan un segmento que tiene intersección con la recta r.

Axioma II.8

Cualquier plano del espacio divide a todos los demás puntos del espacio en dos conjuntos disjuntos no vacíos, de tal manera que si dos puntos cualesquiera pertenecen al mismo conjunto la intersección del segmento que ellos determinan no tiene intersección con el plano, mientras que dos puntos cualesquiera pertenecientes a conjuntos diferentes determinan un segmento que tiene intersección con el plano.

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