Teorema 16: Teorema del triángulo isósceles

Un triángulo es isósceles si y solo si tiene dos ángulos congruentes.

El teorema nos dice dos cosas:

  • Si un triángulo es isósceles, entonces tiene dos ángulos congruentes.
  • Si un triángulo tiene dos ángulos congruentes, entonces es isósceles.

En un triángulo ABC

Dos lados congruentes \Rightarrow dos ángulos congruentes.
Dos ángulos congruentes \Rightarrow dos lados congruentes.

Si lo escribimos en una oración quedaría así:

Dos lados congruentes \Leftrightarrow dos ángulos congruentes.

Demostración

Es una consecuencia inmediata del Teorema 13 y del Teorema 15. Cada teorema es una de las implicaciones utilizadas.

Corolario 4: Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes

Corolario
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

Demostración

Sean \alpha y \gamma dos ángulos opuestos por el vértice.

El ángulo \beta es adyacente a ambos.

Usando el Teorema 14 que nos dice que los adyacentes a ángulos congruentes son congruentes nos queda que:

\beta es adyacente a \alpha.

\beta es adyacente a \gamma.

Y como \beta es congruentes con sí mismo por la propiedad reflexiva del Axioma 3.5, tenemos que \alpha \cong \gamma