V Postulado de Euclides

Si dos rectas coplanares cortadas por una transversal en puntos distintos, forman con ella un par de ángulos conjugados internos cuya suma es menor a dos rectos, entonces las rectas se cortan en el mismo semiplano de los ángulos conjugados.

\alpha +\beta<180^{\circ}
Las rectas azules se cortan en el semiplano donde están los ángulos alfa y beta.

Construcción de la mediatriz

Dado un segmento AB. Construyamos con regla y compás la mediatriz del segmento.

Construimos la circunferencia de centro A y radio AB.
Construimos la circunferencia de centro B y radio BA.
Marcamos los puntos P y Q, intersección de las circunferencias.
Trazamos la recta que pasa por PQ.
Dicha recta es la mediatriz del segmento AB.

Justificación:

Para justificar que la construcción realizada es la mediatriz del segmento AB, tenemos que probar que la recta PQ es perpendicular al segmento AB y que lo divide por el punto medio.

Por construcción AB, BP, AQ y BQ son congruentes.
Usando el criterio LLL, tenemos las siguientes congruencias:
El triángulo ABP es congruente con el triángulo ABQ.
El triángulo APQ es congruente con el triangulo BPQ.
Los siguientes triángulos son isósceles y los ángulos de la base son congruentes:
ABP y ABQ por un lado y APQ y BPQ por otro.
Entonces nos quedan las siguientes congruencias como indica el gráfico:

Finalmente tenemos cuatro triángulos APO, BPO, AQO y BQO que son congruentes, dado que cumple con las condiciones del criterio ALA.

Por las congruencias de los triángulos anteriores AO es congruente con OB.

Y los ángulos adyacentes con vértice en O son congruentes y por definición rectos, eso hace que la recta PQ sea perpendicular al segmento AB.