Ángulos correspondientes

Al tener los ángulos entre dos rectas cortadas por una transversal llamamos ángulos correspondientes a los pares de ángulos que cumplen las siguientes condiciones:

  • Los ángulos se encuentran en el mismo semiplano respecto a la recta transversal.
  • Si un ángulo es interno el otro es externo.
  • Los ángulos no son adyacentes.
Los ángulos \alpha y \epsilon son ángulos correspondientes.

Entre dos rectas cortadas por una transversal tenemos cuatro pares de ángulos correspondientes.

  • \alpha \ ;\ \epsilon
  • \beta \ ; \ \zeta
  • \gamma \ ; \ \eta
  • \delta \ ; \ \theta

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Ángulo entre rectas cortadas por una transversal

Sean a, b dos rectas cortadas por una recta secante a ellas, que llamaremos transversal.

Sin tener en cuenta los ángulos nulos o llanos, en cada punto de intersección (A y B) de la recta secante t con las rectas a y b, quedan formado 8 ángulos.

Cuatro ángulos con vértices en A.

\alpha, \beta, \gamma, \delta

Cuatro ángulos con vértice en B.

\epsilon, \zeta, \eta, \theta

De esos ángulos llamaremos:

Ángulos internos: a los ángulos cuyo interior, en parte, están entre las rectas a y b. (Ángulos en azul)

Ángulos externos: a los ángulos cuyo interior no tiene intersección con los puntos entre las rectas a y b. (Ángulos en marrón).

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Criterio LLL para desigualdades

Si dos lados de un triángulo son congruentes respectivamente con dos lados de un segundo triángulo, y el tercer lado del primer triángulo es mayor que el tercer lado del segundo triángulo, entonces el ángulo comprendido en el primer triángulo es mayor que el ángulo comprendido en el segundo.

Hipótesis: AB = PQ, AC = PR, BC > QR
Tésis: \alpha > \rho

Demostración

Postulado de Playfair

Como enunciado equivalente al quinto postulado de Euclides, Playfair enuncia el siguiente postulado, que es actualmente el axioma de las paralelas utilizado.

Dada una recta y un punto exterior a ella, es posible trazar una única paralela a dicha recta que pase por el punto dado.

Dada la recta r y el punto P, es posible trazar una única paralela a r que pase por P.

Teorema: Proyecciones sobre los lados de un ángulo

Las proyecciones de los puntos de un lado de un ángulo obtuso sobre la recta que contiene al otro lado, están en la semirrecta opuesta al otro lado.

Las proyecciones de los puntos de un lado de un ángulo agudo sobre la recta que contiene al otro lado, están en el otro lado.

Criterios de congruencia de triángulos rectángulos

Dos triángulos rectángulos que tengan congruentes sus catetos, son congruentes.

Dos triángulos rectángulos que tengan congruentes un cateto y un ángulo agudo, son congruentes (el cateto puede ser adyacente o no al ángulo agudo).

Dos triángulos rectángulos que tengan congruentes la hipotenusa y un ángulo agudo, son congruentes.

Dos triángulos rectángulos que tengan congruentes la hipotenusa y un cateto, son congruentes.