La geometría como sistema axiomático

Se comprende, por lo expuesto, que la Geometría puede fundarse sobre distintos sistemas de axiomas, según las cadenas deductivas que se establezcan entre sus proposiciones, de tal suerte que una misma proposición pueda aparecer como axioma en una determinada sistematización y como teorema en otra.

Desde el punto de vista estrictamente lógico, un sistema será tanto más perfecto cuanto menor sea el número de axiomas que necesite; pero será de todo punto inadmisible si entre ellos o sus consecuencias, existiera alguna incompatibilidad o contradicción. He aquí, pues, las dos condiciones que se preceptúan en todo sistema de axiomas:

1. Los axiomas han de ser compatibles, es decir, ninguno de ellos debe estar en contradicción con los demás o sus consecuencias.

2. Los axiomas debe ser independientes, es decir, ninguno de ellos o parte de ellos debe poder demostrarse como consecuencia de los demás.

Según lo dicho la Geometría estudia, en definitiva, relaciones que ligan directa o indirectamente los elementos (puntos, rectas, planos) constitutivos de toda figura geométrica. David Hilbert fue quién acertó a distinguir de la infinita complejidad de tales relaciones las cinco categorías primarias independientes en las cuales se fundamenta la Geometría.

Como ejemplo veremos los cinco grupos de axiomas en lo que Hilbert fundamentó la Geometría.

Puig Adam, P. (1986).
Curso de Geometría Métrica. Tomo I.
Madrid: Euler Editorial.

Los Grupos fundamentales de axiomas de la geometría de Hilbert

Según lo dicho, la Geometría estudia, en definitiva, relaciones que ligan directa o indirectamente los elementos (puntos. rectas, planos} constitutivos de las figuras geométricas.
Hilbert acertó a distinguir en la infinita complejidad de tales relaciones, las cinco categorías primarias independientes que siguen :
I. Relaciones de enlace o incidencia; del tipo: «estar en». Ejemplo: Por dos rectas secantes pasa un plano y sólo uno.
II. Relaciones de orden; del tipo: estar entre, separar, preceder, seguir, … Ejemplo: «Una diagonal de un cuadrilátero convexo lo divide {separa) en dos triángulos».
III. Relaciones de igualdad o congruencia. Ejemplos: Las relaciones de perpendicularidad (igualdad de ángulos adyacentes}: los criterios de igualdad de triángulos.
IV. Relaciones de paralelismo. Ejemplo: Si una recta corta a otra, corta a todas sus paralelas.
V. Relaciones de continuidad. Ejemplos: Existencia de puntos de intersección de circunferencias. Existencia del límite de los perímetros de polígonos regulares inscritos en una circunferencia, cuyo número de lados crece indefinidamente.
A cada una de estas categorías de relaciones corresponde un conjunto de axiomas que las fundamenta. Aun cuando los axiomas. sobre los que fundamentaremos esta exposición de la Geometría métrica, no coincidan con los de Hilbert, respetaremos su clasificación. y los ordenaremos en los cinco grupos siguientes, que iremos introduciendo a medida que los vayamos necesitando.

  • Axiomas l. De enlace o incidencia.
  • Axiomas II. De ordenación.
  • Axiomas III. De congruencia
  • Axioma IV. De paralelismo.
  • Axiomas V. De continuidad.

Puig Adam, P. (1986).
Curso de Geometría Métrica. Tomo I.
Madrid: Euler Editorial.

Evolución de la geometría

Cuando una disciplina como la geometría abarca tantas dimensiones, cabe hacer algunas reflexiones de carácter histórico que sirvan para comprender su proceso de crecimiento, y el papel que ha jugado en el desarrollo cultural de los diferentes ámbitos de la vida social. )Hemos mencionado ya la estrecha relación de la geometría con las actividades humanas (Enseñar geometría). Está relación ha permitido ir desarrollando la geometría tanto en sus aspectos puramente visuales como en los conceptuales y abstractos. En efecto, desde tiempos inmemoriales ella ha acompañado las producciones humanas, incluso desde la prehistoria cuando nuestros antepasados comenzaron a reproducir los distintos aspectos de su realidad utilizando dibujos o comenzaron a adornar sus pertenencias con motivos geométricos simples o producidos por medio de simetrías. Igualmente, cuando empezaron a hacer sus primeras construcciones, comenzaron a disponerlas en forma geométrica. En este primer momento, el aspecto visual de la geometría es predominante.

Con la expansión de las comunidades y el surgimiento de importantes civilizaciones como la china, india, egipcia, griega, maya y azteca se buscó un mejoramiento en la estructura general y la organización de la vida social. Durante ese periodo histórico la geometría respondió principalmente a necesidades utilitarias de medición de longitudes, áreas y volúmenes, o del trazo de linderos en la tierra. Además, jugó un papel instrumental fundamental con respecto a otras esferas del conocimiento como la arquitectura, la geografía y la astronomía. En esta etapa se percibe un primer intento de racionalización, al menos localmente del conocimiento geométrico adquirido. En los documentos dejados por esta civilización acerca de fórmulas para el área de regiones planas o volúmenes de sólidos, o sobre el estudio de movimientos de los cuerpos celestes, se entretejen aspectos visuales e instrumentales. Se recalca que, desde las tablillas babilónicas a los papiros egipcios, cuando se trató de “escribir” un problema geométrico, se inició la tradición de mezclar en las producciones escritas imágenes, símbolos especiales y el lenguaje natural para comunicar ideas.
Con los griegos y por motivos históricos y culturales la geometría dejó su carácter empírico y el objetivo primordial de resolver necesidades prácticas dio paso a la constitución de una disciplina científica, al abarcar procesos de racionalización abstractos y globales. La obra cumbre, Los Elementos, escrita por Euclides hacia el año 300 a.C. recoge una excelente sistematización de estos desarrollos que se continúan con los trabajos de Apolonio, Arquímedes y Tolomeo. En esta nueva etapa, el interés se concentró en los aspectos conceptuales de la geometría y esta se empezó a ver como un sistema axiomático de carácter deductivo.

Debido a la perfección del tratado de Euclides, este libro se convirtió en modelo de una sistematización racional para todos los campos del conocimiento. Así, por muchos siglos, la geometría de Euclides se enseñó como una de las disciplinas más importantes para la formación cultural de los escolares, desde la edad media hasta el renacimiento y aún mucho más tarde. Este hecho inhibió otros progresos dentro de la geometría misma, produciéndose una subordinación del conocimiento geométrico durante casi 2000 años, al esquema Euclidiano. Tal fue el grado de influencia de la geometría de Euclides que muchos de nosotros hoy en día creemos que los griegos y sus antepasados descubrieron toda la geometría conocida. Sin embargo, como se menciona más adelante, muchos de los resultados más interesantes de la geometría euclidiana se desarrollaron en los siglos XIX y XX.

Sólo después de muchos siglos de producción en esa línea de trabajo surgieron nuevas ideas en la investigación geométrica, a partir de trabajos que se consideraban de origen externo a la geometría de Euclides. Por ejemplo, durante el siglo quince se desarrolló la geometría proyectiva, gracias a artistas del renacimiento, de la talla de Leonardo da Vinci, interesados en la estética, ampliando la dimensión artística de la geometría, desarrollada por las comunidades primitivas. Durante el siglo XVII lo que nació como un método artístico se convirtió en la base de una nueva geometría que combinó métodos algebraicos con descripciones sintéticas de formas y transformaciones, surgiendo entonces la geometría analítica, de una mezcla de geometría y álgebra; y hacia el final del siglo XVIII debido al estudio sistemático realizado por Monge de los métodos de representación de objetos tridimensionales por medio de dibujos, surgió la geometría descriptiva. Estas áreas de la geometría combinan a su vez aspectos visuales y conceptuales del conocimiento.

Sin embargo, todos estos desarrollos de la geometría se consideraron ajenos al espíritu de la geometría de Euclides y por lo tanto no interfirieron con la incuestionada autoridad del tratado de Euclides y su dimensión formal. Fue necesario esperar hasta el siglo XIX para lograr un avance más allá de la geometría euclidiana, gracias al desarrollo de las geometrías no euclidianas de Bolyai- Lobachevsky y Riemann. Los axiomas anti intuitivos de estas dos geometrías revolucionaron la comprensión de los matemáticos respecto de los axiomas. Estos, que habían sido considerados como “verdades evidentes”, comenzaron a verse como “puntos de partida necesarios” para los sistemas matemáticos. Así, se liberó a la geometría de su carácter de modelo del mundo real y del criterio de aplicabilidad de sus resultados a la vida cotidiana, dando paso a diversas variantes de la geometría de Euclides, llamadas geometrías euclidianas, y a todo tipo de otras geometrías no euclidianas, cada vez más alejadas de consideraciones visuales. Muchos de los resultados más interesantes de la geometría euclidiana se trabajaron durante los siglos XIX y XX. Por ejemplo, los teoremas de Morley, Miquel, Feuerbach, Steiner, entre otros.

El desarrollo de las geometrías no euclidianas motivó un debate filosófico acerca de las fuentes de certeza del conocimiento. Después de haber creído que las matemáticas trataban de “verdades absolutas” en relación con el mundo real, los matemáticos se dieron cuenta que las matemáticas tratan de “verdades convencionales” que pueden o no, tener aplicaciones en el mundo real. La toma de conciencia de la posibilidad de imaginar alternativas a la geometría euclidiana conllevó en un cierto sentido, a una perdida de protagonismo atribuido a la geometría de Euclides, dentro de las matemáticas y dentro del conocimiento científico en general, y generó el interés por la búsqueda de consistencia de las teorías propuestas. Así, la geometría se dirigió mas por los caminos conceptuales que por los visuales. Por otra parte, las geometrías no euclidianas contribuyeron a estimular una nueva era de investigación en los fundamentos de la geometría, que culminó con el Programa Erlangen de Felix Klein, quien, en 1872, describió la geometría como el estudio de las propiedades geométricas que permanecen invariantes bajo varios grupos de transformaciones y la publicación de los Fundamentos de la Geometría Hilbert en 1899. Estos trabajos mostraron un nuevo punto de vista caracterizado por un alto nivel de abstracción, y la consecuente pérdida de relaciones de la geometría con la realidad perceptible. La investigación en geometría se dirigió hacia la fundamentación algebraica de la misma.
En los años siguientes a la publicación de los Fundamentos de Geometría de Hilbert, la investigación en aspectos algebraicos de la disciplina adquirió un papel cada vez mas importante, gracias a la construcción rigurosa de la teoría de los números hecha por Dedekind, Cantor y Weirstrass, en la cual el fundamento de la “certeza” se derivó del álgebra y no de la geometría. Así, mientras hasta ese momento las “certezas” del álgebra se derivaban de supuestas certezas en geometría, al final del siglo diecinueve el punto de vista cambió radicalmente: desde entonces es el álgebra la que proporcionó el modelo firme para la geometría. De esta manera, surgieron objetos geométricos completamente ajenos a la experiencia sensorial como las estructuras abstractas de dimensiones arbitrariamente grandes y las líneas que cubren el plano, entre otras. El comienzo del siglo XX dio lugar a la creación de nuevas herramientas algebraicas para un estudio general de los objetos geométricos, entre las cuales se destaca la teoría de los espacios vectoriales, que contribuyó a una mayor ganancia en abstracción y generalidad, y un mayor distanciamiento de la intuición geométrica.

En décadas recientes, con el desarrollo tecnológico que permite el análisis numérico y el tratamiento visual de gran potencial, se está experimentando un interés renovado en los aspectos visuales de la geometría. Aunque inicialmente estas investigaciones crecieron, en su mayoría, en un medio externo a la comunidad matemática, han sido origen de nuevos campos de investigación geométrica. Por ejemplo, el artista holandés Maurits Escher utilizó las teselaciones de manera extensiva en la producción de sus obras de arte en el período de 1937-1971 lo que motivó un renovado interés entre los matemáticos por el estudio de las teselaciones . Así, en años recientes Grunbaum y Shepherd (1986) produjeron una investigación sistemática que en cierto grado es equiparable a los Elementos de Euclides, una de cuyos soportes conceptuales más importantes es la idea de simetría.
Otro desarrollo interesante de los últimos años es la geometría fractal, que consiste en el estudio de objetos geométricos “auto semejantes” de dimensiones fraccionarias. Este campo de trabajo se desarrolló proveniente de los estudios en ciencias naturales pues muchos objetos de la naturaleza como las nubes, las líneas costeras, las hojas de helecho, las cadenas montañosas, los árboles, los cristales, etc. tienen propiedades fractales. La compresión fractal de imágenes es imposible sin el apoyo de la tecnología computacional.

En los últimos años se han desarrollado y ampliado otras teorías geométricas como la teoría de nudos y sus aplicaciones a la biología, el uso de la geometría proyectiva para el diseño de programas de realidad virtual, la aplicación de la teoría de códigos para el diseño de unidades de CD. Incluso la geometría de las pompas de jabón está siendo estudiada y se le ha dedicado sesiones especiales en diversas revistas de matemáticas.

También la geometría euclidiana está experimentando un renacer en gran parte debido al desarrollo reciente de paquetes computacionales de geometría dinámica. Por ejemplo, Davies (1995) investigó nuevas posibilidades de construcción de teorías alrededor de la geometría del triángulo y Adrian Oldknow (1995, 1996) utilizó el software Sketchpad para encontrar nuevas relaciones entre puntos de concurrencia asociados a líneas notables de los triángulos.
En síntesis, con este breve recorrido histórico queremos destacar los siguientes aspectos:

  • Si bien la geometría es una disciplina científica, y como tal puede estructurarse en un esquema axiomático deductivo, está íntimamente relacionada con nuestra percepción espacial y encuentra su fuente de significado en ella, bien sea para afinarla o para superarla.
  • Los avances en geometría no provienen únicamente de las investigaciones en matemáticas, sino que tienen una gran variedad de fuentes: las artes, los oficios, la técnica, las ciencias. Este hecho destaca el carácter vivo de la geometría y su riqueza cultural, que se traducen en una riqueza de relaciones que pueden utilizarse para su aprendizaje. En ella se puede avanzar desde la percepción de los objetos y sus propiedades pasando por el mundo de las formas en las que se perciben prototipos en clases separadas y se trabaja con representaciones realizadas a mano alzada, por el mundo de la geometría práctica en donde se clasifican los objetos del mundo real en forma jerárquica y se proponen construcciones geométricas, el mundo de la geometría euclidiana cuyos objetos son los objetos idealizados del mundo platónico y se trabaja la prueba euclídea y finalmente se llega al mundo formal donde los objetos son definidos formalmente y sólo se acepta la prueba deductiva.
  • Durante muchos siglos la geometría se constituyó en la base de toda ciencia, pero ante la necesidad de superar los obstáculos de la percepción y de la intuición para dar un fundamento exclusivamente racional a la ciencia, perdió su papel protagónico para cederlo al análisis y el álgebra. De este movimiento de fundamentación heredamos una cierta “desconfianza” hacia la geometría en detrimento del álgebra como herramienta de matematización. De allí heredamos la utilización de la geometría en el campo educativo como terreno natural para la introducción de la deducción, olvidando a veces los obstáculos que se presentan precisamente para este desarrollo y las otras posibilidades de formación que ofrece.
  • El renacer de los aspectos visuales, gracias al potencial de los recursos informáticos, ha puesto nuevamente en equilibrio los procesos de visualización y los procesos de justificación que permiten trabajar en geometría significativamente, y potencian su aprendizaje.

Castiblanco Paiba, A. (2004).
Fuente: Pensamiento Geométrico y Tecnologías Computacionales.
Bogotá: Enlace Editores Ltda.

Enseñar geometría

El conocimiento geométrico es un componente matemático que ocupa un lugar privilegiado en los diseños curriculares escolares por su aporte a la formación del individuo. No sólo se considera como una herramienta necesaria para describir el espacio circundante, comprenderlo e interactuar en él, sino que, como disciplina científica, descansa sobre importantes procesos de formalización que son ejemplo de rigor, abstracción y generalidad. La geometría puede verse como:

  • Una ciencia del espacio y la forma. Desde sus raíces como herramienta para describir y medir figuras, se han ido constituyendo teorías, ideas y métodos mediante los cuales podemos construir y estudiar modelos idealizados del mundo físico o de fenómenos que acontecen el mundo real.
  • Un método para representar visualmente conceptos y procesos de otras áreas de la matemática como la aritmética, el álgebra o el cálculo, o de otras ciencias naturales y sociales.
  • Un punto de encuentro entre la matemática vista como una teoría abstracta y la matemática vista como un recurso de modelización.
  • Una vía para desarrollar pensamiento y comprensión, y, en un nivel avanzado, como una teoría formal.
  • Un ejemplo paradigmático para enseñar razonamiento deductivo.
  • Una herramienta en diversos campos de aplicación, tanto en forma tradicional, como de manera innovadora mediante el uso de recursos computacionales.

La toma de conciencia de esta multidimensionalidad, en la última década, es debida probablemente al cambio en el punto de vista de la matemática en sí misma, (que ha comenzado a verse más como una actividad humana que como una teoría formal) y de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática a nivel escolar. Hoy en día se reconoce la necesidad de fomentar el aprendizaje activo, disminuir las separaciones tradicionales entre las diversas asignaturas del currículo y establecer conexiones de la matemática con los contextos de las ciencias naturales y sociales.

La geometría tiene una larga historia siempre ligada a las actividades humanas, sociales culturales, científicas y tecnológicas. Ya sea vista como una ciencia que modela nuestra realidad espacial, como un excelente ejemplo de sistema formal o como un conjunto de teorías estrechamente conectadas, cambia y evoluciona permanentemente y no se puede identificar únicamente con las proposiciones formales referidas a definiciones, conceptos, o teoremas. Ella es el resultado de una combinación entre diversos procesos cognitivos asociados a la actividad geométrica y la comunicación de los resultados de dicha actividad. En ese sentido, el conocimiento geométrico no existe únicamente en los enunciados formales ni puede considerarse como algo absoluto e impersonal. Por el contrario, se convierte en algo relativo a las experiencias individuales y grupales que, mediadas por diversas herramientas materiales o simbólicas producen diversos niveles de sofisticación del conocimiento, útiles para resolver problemas, interpretar hechos o dar explicaciones, entre otras cosas.
Difícilmente otro campo de las matemáticas abarca un espectro tan amplio de dimensiones. Por ello la enseñanza de la geometría debe reflejar una preocupación por desarrollar actividades en las distintas dimensiones buscando lograr en los alumnos una amplia experiencia y una perspectiva multifacética de lo que significa, elementos claves para ganar en conocimiento geométrico útil. Probablemente cualquier situación geométrica, por elemental que sea, permite una amplia gama de posibilidades de exploración, formulación de conjeturas y experimentación de situaciones con la idea de explicar, probar o demostrar hechos. También ofrece amplias oportunidades de usar modelos matemáticos para comprender la actividad humana y social, dadas sus estrechas relaciones con la cultura, la historia, el arte, la filosofía y la ciencia. Adicionalmente, no hay mejor lugar que la geometría para dilucidar el papel de la prueba y la demostración en matemática.

Por supuesto, según el nivel escolar se privilegiará una u otra dimensión de la geometría. Se sugiere enfatizar en los primeros niveles educativos en actividades de exploración, denominación, descripción, clasificación y representación de objetos concretos del plano y del espacio y explorar movimientos en el plano para acceder a nociones básicas acerca de las trasformaciones, la identificación de trayectorias y la ubicación espacial; es decir, enfatizar en una dimensión empírica de la geometría, que tiene que ver con la representación del espacio vital. Sin embargo, para evitar que los alumnos tengan una idea limitada de la geometría, conviene ir dando puntadas hacia la comprensión de las demás dimensiones, mediante actividades que muestren, por ejemplo, de qué manera algunas de las propiedades esenciales del espacio físico pueden deducirse de una exploración de regularidades o “probarse” mediante algún razonamiento, o de qué manera la geometría se convierte en una excelente herramienta para comprender reglas y operaciones aritméticas. Además, los alumnos deben poder observar cómo la visión humana está gobernada por reglas que nos permiten reconocer la estrecha relación entre un objeto y su imagen obtenida por semejanza, por su representación bidimensional, o en perspectiva. La comprensión de las relaciones entre los objetos tridimensionales y sus representaciones bidimensionales es de gran importancia como fundamento de la comprensión acerca del conocimiento geométrico trabajado posteriormente.

En los niveles superiores de la educación básica y en la educación media, se recomienda en cambio, afianzar conocimientos más amplios y profundos, de tal forma que los estudiantes puedan experimentar con gran cantidad de ejemplos y situaciones, en una gran variedad de contextos geométricos, ampliando el espectro de dimensiones a trabajar. A través de actividades como la construcción de definiciones de conceptos, la investigación de propiedades geométricas, la búsqueda de mecanismos para probar enunciados y la resolución de problemas de aplicación se profundiza en sus experiencias y conocimientos geométricos y es posible comenzar a experimentar con diferentes teorías geométricas y sus interrelaciones, además de las formas para validar los resultados en cada una de ellas. Especial importancia cobran las experiencias en diferentes ámbitos tales como la construcción de modelos geométricos físicos y su relación con la percepción visual, la representación de objetos en dos y tres dimensiones, la exploración acerca de propiedades geométricas o la construcción de la geometría euclidiana deductiva y su relación con la geometría analítica o vectorial, o la geometría de las transformaciones.
Las diversas dimensiones del panorama geométrico se apoyan en los procesos cognitivos de visualización (asociados al pensamiento espacial) y procesos de razonamiento discursivo en el lenguaje natural tipo verbal (asociados con el pensamiento deductivo). Por tal razón, en los diseños curriculares se enfatiza, por un lado, en la necesidad de encaminar la enseñanza de la geometría hacia el desarrollo de la percepción espacial, las representaciones bi y tridimensionales de las figuras y el estudio de los invariantes de las figuras, sus relaciones y sus propiedades bajo el efecto que producen las diferentes transformaciones sobre ellas. Por otro lado, se propone un estudio sistemático de patrones de regularidad que conducen al establecimiento de conjeturas y generalizaciones, a partir de las
cuales surgen diversas formas argumentativas que poco a poco van alcanzando mejores niveles de sofisticación hasta llegar a la producción de teorías axiomáticas de carácter deductivo.
Sobre los procesos de visualización y de razonamiento discursivo descansan otros procesos presentes en toda actividad matemática, como la resolución de problemas, el razonamiento, la comunicación, la modelización y la elaboración y ejercitación de procedimientos. A su vez, estos procesos están estrechamente ligados a las dimensiones de la geometría. Por ejemplo, la resolución de problemas conjuga ambos procesos y está vinculada a la dimensión empírica de la geometría, por su papel en la indagación de las propiedades de los objetos naturales o creados por el hombre, a través de la modelización. La comunicación tiene que ver con el potencial de la geometría para comunicar información visual de hechos no necesariamente geométricos. La representación se encuentra en estrecha conexión con el potencial humano de visualizar y la búsqueda de mecanismos de argumentación para lograr justificar afirmaciones se encuentra asociado al razonamiento discursivo.
Para poder diseñar ambientes de aprendizaje ricos en actividades geométricas en las distintas dimensiones, los profesores de matemáticas debemos experimentar con diversas facetas del panorama geométrico. Entre más dimensiones y conexiones de la geometría conozcamos, podremos guiar con mayor éxito a nuestros alumnos en la experiencia de aprender a aprender geometría y les ayudaremos a sentar bases sólidas para ampliar el panorama en los siguientes años escolares y en la vida.

Actualmente, los programas de geometría dinámica han revolucionado la manera de hacer matemáticas y la forma de enseñarlas, proporcionando contextos de aprendizaje con nuevas y potentes posibilidades de representación. Usando software de geometría dinámica ahora es posible que los estudiantes exploren la geometría euclidiana y tengan la posibilidad de estudiar objetos y propiedades geométricas para redescubrir teoremas por ellos mismos. A partir de hacer, examinar, predecir, evaluar y generalizar, los estudiantes pasan de formularse preguntas como ¿por qué…? a preguntas como ¿qué pasa si…?, dando pasos hacia el pensamiento deductivo.

Castiblanco Paiba, A. (2004).
Fuente: Pensamiento Geométrico y Tecnologías Computacionales.
Bogotá: Enlace Editores Ltda.

Nociones comunes

Nociones comunes del Libro I de Elementos de Euclides

Noción Común I
Cosas iguales a una tercera son iguales entre si.
Ver

Noción Común II
Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, los totales son iguales también.
Ver

Noción Común III
Si a cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales también.
Ver

Noción Común IV
Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.

Noción Común V
El todo es mayor que la parte.

Postulados

Postulados del Libro I de los Elementos de Euclides

Postulado I
Desde cualquier punto a cualquier otro se puede trazar una recta.

Postulado II
Toda recta limitada puede prolongarse indefinidamente en la misma dirección.

Postulado III
Con cualquier centro y cualquier radio se puede trazar una circunferencia.

Postulado IV
Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

Postulado V
Si una recta, al cortar a otras dos, forma de un mismo lado ángulos internos menores a dos rectos, esas rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en que están los ángulos menores que dos rectos.

Definiciones

23 Definiciones – Libro I – Elementos

No es nuestro objeto detenernos en poner de manifiesto los inconvenientes y la inconsistencia de las primeras definiciones anteriores. Responden al afán, que la autoridad de Euclides hizo perdurar durante siglos, de definirlo todo, incluso las nociones primitivas de las cuales hay que partir en cualquier construcción lógica y que no pueden definirse en términos más simples. En las construcciones axiomáticas modernas, el punto y la recta, por ejemplo, se introducen como elementos que satisfacen ciertos axiomas, es decir, se definen por sus propiedades (Fundamentos de Hilbert).

“Elementos” de Euclides

Los “Elementos” de Euclides forman un conjunto de 13 libros dedicados a los fundamentos y al desarrollo, lógico y sistemático, de la geometría. Es la obra cumbre de la matemática griega. Durante siglos ha sido el texto obligado de geometría en todas las escuelas. Es el primer libro de fundamentación geométrica, y su estilo y ordenación fueron los moldes a los que se ajustaron todas las obras posteriores de matemática. No se trata, en absoluto, de un manual práctico o de
un conjunto de reglas útiles que puedan servir para calcular o medir, al estilo de los documentos egipcios o babilónicos de épocas anteriores. Se trata de una estructura lógica que responde exactamente al concepto de Platón de la geometría: como si se tratara de alguna finalidad práctica, los geómetras hablan siempre de cuadrar, prolongar, agregar, cuando en verdad la ciencia se cultiva con el único fin de conocer”. (República, Libro VII, 527) Las bases de que parte Euclides para edificar su geometría son las definiciones, los postulados y las nociones comunes. Las definiciones son veintitrés, al comienzo, aunque en el texto se van introduciendo otras más, hasta un total de ciento dieciocho. Con ellas se intenta dar nombre a los elementos con los cuales se va a construir la geometría.

¿Qué es la geometría?

La geometría es la ciencia que estudia el espacio que nos rodea, realiza una interpretación abstracta de ese espacio y analiza las relaciones y las propiedades de las figuras que en él se encuentran.

La geometría tal cual la conocemos hoy, es producto de un trabajo práctico y empírico realizado por las civilizaciones antiguas, principalmente egipcios y babilónicos, y de un trabajo teórico y formal comenzado por los griegos 300 a.C. e inmortalizado en los Elementos de Euclides.

Plano

Un plano es un concepto primitivo, no se define.

Denotaremos a un plano con letras griegas mayúsculas.

Representaremos a los planos con superficies lisas, como la de una mesa, la de del pizarrón o la superficie de una hoja apoyada sobre una mesa.

Los axiomas de incidencia y orden mostrarán las relaciones de los plano con los otros conceptos geométricos.