Cuando una disciplina como la geometría abarca tantas dimensiones, cabe hacer algunas reflexiones de carácter histórico que sirvan para comprender su proceso de crecimiento, y el papel que ha jugado en el desarrollo cultural de los diferentes ámbitos de la vida social. )Hemos mencionado ya la estrecha relación de la geometría con las actividades humanas (Enseñar geometría). Está relación ha permitido ir desarrollando la geometría tanto en sus aspectos puramente visuales como en los conceptuales y abstractos. En efecto, desde tiempos inmemoriales ella ha acompañado las producciones humanas, incluso desde la prehistoria cuando nuestros antepasados comenzaron a reproducir los distintos aspectos de su realidad utilizando dibujos o comenzaron a adornar sus pertenencias con motivos geométricos simples o producidos por medio de simetrías. Igualmente, cuando empezaron a hacer sus primeras construcciones, comenzaron a disponerlas en forma geométrica. En este primer momento, el aspecto visual de la geometría es predominante.
Con la expansión de las comunidades y el surgimiento de importantes civilizaciones como la china, india, egipcia, griega, maya y azteca se buscó un mejoramiento en la estructura general y la organización de la vida social. Durante ese periodo histórico la geometría respondió principalmente a necesidades utilitarias de medición de longitudes, áreas y volúmenes, o del trazo de linderos en la tierra. Además, jugó un papel instrumental fundamental con respecto a otras esferas del conocimiento como la arquitectura, la geografía y la astronomía. En esta etapa se percibe un primer intento de racionalización, al menos localmente del conocimiento geométrico adquirido. En los documentos dejados por esta civilización acerca de fórmulas para el área de regiones planas o volúmenes de sólidos, o sobre el estudio de movimientos de los cuerpos celestes, se entretejen aspectos visuales e instrumentales. Se recalca que, desde las tablillas babilónicas a los papiros egipcios, cuando se trató de “escribir” un problema geométrico, se inició la tradición de mezclar en las producciones escritas imágenes, símbolos especiales y el lenguaje natural para comunicar ideas.
Con los griegos y por motivos históricos y culturales la geometría dejó su carácter empírico y el objetivo primordial de resolver necesidades prácticas dio paso a la constitución de una disciplina científica, al abarcar procesos de racionalización abstractos y globales. La obra cumbre, Los Elementos, escrita por Euclides hacia el año 300 a.C. recoge una excelente sistematización de estos desarrollos que se continúan con los trabajos de Apolonio, Arquímedes y Tolomeo. En esta nueva etapa, el interés se concentró en los aspectos conceptuales de la geometría y esta se empezó a ver como un sistema axiomático de carácter deductivo.
Debido a la perfección del tratado de Euclides, este libro se convirtió en modelo de una sistematización racional para todos los campos del conocimiento. Así, por muchos siglos, la geometría de Euclides se enseñó como una de las disciplinas más importantes para la formación cultural de los escolares, desde la edad media hasta el renacimiento y aún mucho más tarde. Este hecho inhibió otros progresos dentro de la geometría misma, produciéndose una subordinación del conocimiento geométrico durante casi 2000 años, al esquema Euclidiano. Tal fue el grado de influencia de la geometría de Euclides que muchos de nosotros hoy en día creemos que los griegos y sus antepasados descubrieron toda la geometría conocida. Sin embargo, como se menciona más adelante, muchos de los resultados más interesantes de la geometría euclidiana se desarrollaron en los siglos XIX y XX.
Sólo después de muchos siglos de producción en esa línea de trabajo surgieron nuevas ideas en la investigación geométrica, a partir de trabajos que se consideraban de origen externo a la geometría de Euclides. Por ejemplo, durante el siglo quince se desarrolló la geometría proyectiva, gracias a artistas del renacimiento, de la talla de Leonardo da Vinci, interesados en la estética, ampliando la dimensión artística de la geometría, desarrollada por las comunidades primitivas. Durante el siglo XVII lo que nació como un método artístico se convirtió en la base de una nueva geometría que combinó métodos algebraicos con descripciones sintéticas de formas y transformaciones, surgiendo entonces la geometría analítica, de una mezcla de geometría y álgebra; y hacia el final del siglo XVIII debido al estudio sistemático realizado por Monge de los métodos de representación de objetos tridimensionales por medio de dibujos, surgió la geometría descriptiva. Estas áreas de la geometría combinan a su vez aspectos visuales y conceptuales del conocimiento.
Sin embargo, todos estos desarrollos de la geometría se consideraron ajenos al espíritu de la geometría de Euclides y por lo tanto no interfirieron con la incuestionada autoridad del tratado de Euclides y su dimensión formal. Fue necesario esperar hasta el siglo XIX para lograr un avance más allá de la geometría euclidiana, gracias al desarrollo de las geometrías no euclidianas de Bolyai- Lobachevsky y Riemann. Los axiomas anti intuitivos de estas dos geometrías revolucionaron la comprensión de los matemáticos respecto de los axiomas. Estos, que habían sido considerados como “verdades evidentes”, comenzaron a verse como “puntos de partida necesarios” para los sistemas matemáticos. Así, se liberó a la geometría de su carácter de modelo del mundo real y del criterio de aplicabilidad de sus resultados a la vida cotidiana, dando paso a diversas variantes de la geometría de Euclides, llamadas geometrías euclidianas, y a todo tipo de otras geometrías no euclidianas, cada vez más alejadas de consideraciones visuales. Muchos de los resultados más interesantes de la geometría euclidiana se trabajaron durante los siglos XIX y XX. Por ejemplo, los teoremas de Morley, Miquel, Feuerbach, Steiner, entre otros.
El desarrollo de las geometrías no euclidianas motivó un debate filosófico acerca de las fuentes de certeza del conocimiento. Después de haber creído que las matemáticas trataban de “verdades absolutas” en relación con el mundo real, los matemáticos se dieron cuenta que las matemáticas tratan de “verdades convencionales” que pueden o no, tener aplicaciones en el mundo real. La toma de conciencia de la posibilidad de imaginar alternativas a la geometría euclidiana conllevó en un cierto sentido, a una perdida de protagonismo atribuido a la geometría de Euclides, dentro de las matemáticas y dentro del conocimiento científico en general, y generó el interés por la búsqueda de consistencia de las teorías propuestas. Así, la geometría se dirigió mas por los caminos conceptuales que por los visuales. Por otra parte, las geometrías no euclidianas contribuyeron a estimular una nueva era de investigación en los fundamentos de la geometría, que culminó con el Programa Erlangen de Felix Klein, quien, en 1872, describió la geometría como el estudio de las propiedades geométricas que permanecen invariantes bajo varios grupos de transformaciones y la publicación de los Fundamentos de la Geometría Hilbert en 1899. Estos trabajos mostraron un nuevo punto de vista caracterizado por un alto nivel de abstracción, y la consecuente pérdida de relaciones de la geometría con la realidad perceptible. La investigación en geometría se dirigió hacia la fundamentación algebraica de la misma.
En los años siguientes a la publicación de los Fundamentos de Geometría de Hilbert, la investigación en aspectos algebraicos de la disciplina adquirió un papel cada vez mas importante, gracias a la construcción rigurosa de la teoría de los números hecha por Dedekind, Cantor y Weirstrass, en la cual el fundamento de la “certeza” se derivó del álgebra y no de la geometría. Así, mientras hasta ese momento las “certezas” del álgebra se derivaban de supuestas certezas en geometría, al final del siglo diecinueve el punto de vista cambió radicalmente: desde entonces es el álgebra la que proporcionó el modelo firme para la geometría. De esta manera, surgieron objetos geométricos completamente ajenos a la experiencia sensorial como las estructuras abstractas de dimensiones arbitrariamente grandes y las líneas que cubren el plano, entre otras. El comienzo del siglo XX dio lugar a la creación de nuevas herramientas algebraicas para un estudio general de los objetos geométricos, entre las cuales se destaca la teoría de los espacios vectoriales, que contribuyó a una mayor ganancia en abstracción y generalidad, y un mayor distanciamiento de la intuición geométrica.
En décadas recientes, con el desarrollo tecnológico que permite el análisis numérico y el tratamiento visual de gran potencial, se está experimentando un interés renovado en los aspectos visuales de la geometría. Aunque inicialmente estas investigaciones crecieron, en su mayoría, en un medio externo a la comunidad matemática, han sido origen de nuevos campos de investigación geométrica. Por ejemplo, el artista holandés Maurits Escher utilizó las teselaciones de manera extensiva en la producción de sus obras de arte en el período de 1937-1971 lo que motivó un renovado interés entre los matemáticos por el estudio de las teselaciones . Así, en años recientes Grunbaum y Shepherd (1986) produjeron una investigación sistemática que en cierto grado es equiparable a los Elementos de Euclides, una de cuyos soportes conceptuales más importantes es la idea de simetría.
Otro desarrollo interesante de los últimos años es la geometría fractal, que consiste en el estudio de objetos geométricos “auto semejantes” de dimensiones fraccionarias. Este campo de trabajo se desarrolló proveniente de los estudios en ciencias naturales pues muchos objetos de la naturaleza como las nubes, las líneas costeras, las hojas de helecho, las cadenas montañosas, los árboles, los cristales, etc. tienen propiedades fractales. La compresión fractal de imágenes es imposible sin el apoyo de la tecnología computacional.
En los últimos años se han desarrollado y ampliado otras teorías geométricas como la teoría de nudos y sus aplicaciones a la biología, el uso de la geometría proyectiva para el diseño de programas de realidad virtual, la aplicación de la teoría de códigos para el diseño de unidades de CD. Incluso la geometría de las pompas de jabón está siendo estudiada y se le ha dedicado sesiones especiales en diversas revistas de matemáticas.
También la geometría euclidiana está experimentando un renacer en gran parte debido al desarrollo reciente de paquetes computacionales de geometría dinámica. Por ejemplo, Davies (1995) investigó nuevas posibilidades de construcción de teorías alrededor de la geometría del triángulo y Adrian Oldknow (1995, 1996) utilizó el software Sketchpad para encontrar nuevas relaciones entre puntos de concurrencia asociados a líneas notables de los triángulos.
En síntesis, con este breve recorrido histórico queremos destacar los siguientes aspectos:
- Si bien la geometría es una disciplina científica, y como tal puede estructurarse en un esquema axiomático deductivo, está íntimamente relacionada con nuestra percepción espacial y encuentra su fuente de significado en ella, bien sea para afinarla o para superarla.
- Los avances en geometría no provienen únicamente de las investigaciones en matemáticas, sino que tienen una gran variedad de fuentes: las artes, los oficios, la técnica, las ciencias. Este hecho destaca el carácter vivo de la geometría y su riqueza cultural, que se traducen en una riqueza de relaciones que pueden utilizarse para su aprendizaje. En ella se puede avanzar desde la percepción de los objetos y sus propiedades pasando por el mundo de las formas en las que se perciben prototipos en clases separadas y se trabaja con representaciones realizadas a mano alzada, por el mundo de la geometría práctica en donde se clasifican los objetos del mundo real en forma jerárquica y se proponen construcciones geométricas, el mundo de la geometría euclidiana cuyos objetos son los objetos idealizados del mundo platónico y se trabaja la prueba euclídea y finalmente se llega al mundo formal donde los objetos son definidos formalmente y sólo se acepta la prueba deductiva.
- Durante muchos siglos la geometría se constituyó en la base de toda ciencia, pero ante la necesidad de superar los obstáculos de la percepción y de la intuición para dar un fundamento exclusivamente racional a la ciencia, perdió su papel protagónico para cederlo al análisis y el álgebra. De este movimiento de fundamentación heredamos una cierta “desconfianza” hacia la geometría en detrimento del álgebra como herramienta de matematización. De allí heredamos la utilización de la geometría en el campo educativo como terreno natural para la introducción de la deducción, olvidando a veces los obstáculos que se presentan precisamente para este desarrollo y las otras posibilidades de formación que ofrece.
- El renacer de los aspectos visuales, gracias al potencial de los recursos informáticos, ha puesto nuevamente en equilibrio los procesos de visualización y los procesos de justificación que permiten trabajar en geometría significativamente, y potencian su aprendizaje.
Castiblanco Paiba, A. (2004).
Fuente: Pensamiento Geométrico y Tecnologías Computacionales.
Bogotá: Enlace Editores Ltda.
