Propiedades de la bisectriz de un ángulo

Todos los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo.

Si P pertenece a la bisectriz del ángulo AOB.

P equidista de los lados del ángulo.

Si un punto equidista de los lados del ángulo pertenece a la bisectriz de un ángulo.

Si P equidista de los lados de un ángulo.

Entonces, P pertenece a la bisectriz del ángulo.

Mediana

Mediana de un triángulo

La mediana de un triángulo es el segmento que tiene por extremos un vértice del triángulo y el punto medio del lado opuesto.

AP es una mediana del triángulo, dado que un extremo del segmento es A, vértice del triángulo, y el otro extremo es P, punto medio del lado BC.

Todo triángulo tiene tres medianas.

Las medianas de un triángulo se cortan en un único punto llamado baricentro.

AP, BQ y CR son las medianas del triángulo ABC.
O es el baricentro.

Construcción de la mediatriz

Dado un segmento AB. Construyamos con regla y compás la mediatriz del segmento.

Construimos la circunferencia de centro A y radio AB.
Construimos la circunferencia de centro B y radio BA.
Marcamos los puntos P y Q, intersección de las circunferencias.
Trazamos la recta que pasa por PQ.
Dicha recta es la mediatriz del segmento AB.

Justificación:

Para justificar que la construcción realizada es la mediatriz del segmento AB, tenemos que probar que la recta PQ es perpendicular al segmento AB y que lo divide por el punto medio.

Por construcción AB, BP, AQ y BQ son congruentes.
Usando el criterio LLL, tenemos las siguientes congruencias:
El triángulo ABP es congruente con el triángulo ABQ.
El triángulo APQ es congruente con el triangulo BPQ.
Los siguientes triángulos son isósceles y los ángulos de la base son congruentes:
ABP y ABQ por un lado y APQ y BPQ por otro.
Entonces nos quedan las siguientes congruencias como indica el gráfico:

Finalmente tenemos cuatro triángulos APO, BPO, AQO y BQO que son congruentes, dado que cumple con las condiciones del criterio ALA.

Por las congruencias de los triángulos anteriores AO es congruente con OB.

Y los ángulos adyacentes con vértice en O son congruentes y por definición rectos, eso hace que la recta PQ sea perpendicular al segmento AB.

Triángulo rectángulo

Un triángulo es rectángulo cuando tiene un ángulo recto.

El triángulo ABC es rectángulo dado que el ángulo en C es recto.

Hipotenusa

El lado opuesto al ángulo recto, recibe el nombre de hipotenusa.

En el triángulo ABC, c es la hipotenusa.

Catetos

Los lados del triángulo que forman el ángulo recto reciben el nombre de catetos.

En el triángulo ABC, a y b son los catetos.

Propiedades

  • Los ángulos opuestos a los catetos son agudos.
  • No puede haber más de un ángulo recto.