Triángulos y fósforos

Considera la siguiente situación, en donde se forman triángulos usando fósforos.

Completar la siguiente tabla, donde se relacionan la cantidad de fósforos necesarios en función de la cantidad de triángulos.

TriánguloFósforos
37
4
6
12
50
151
x

¿Qué tipo de relaciones encuentra en los valores que dan la cantidad de fósforos?

¿Cuál sería el primer número de la lista 3 o 1?

Determinar una ecuación que permita determinar y (cantidad de fósforos), en función de x (número de triángulos).

Representar gráficamente los valores obtenidos en la tabla, luego unir los puntos que quedan determinados mediante una recta.

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Crecimiento geométrico

En las transacciones financieras, se llama interés compuesto al interés que se calcula teniendo en cuenta tanto el capital inicial como el interés acumulado en períodos anteriores al considerado. Un capital inicial C_0 = \$100 se deposita en un banco que otorga un 5% de interés compuesto mensual.

Completen. la siguiente tabla, que relaciona el tiempo del depósito con el monto obtenido. Recuerden que llamamos monto a la suma del capital inicial y el interés.

Tomen como referencia la tabla de la actividad anterior y completen las siguientes frases:

a) Si se depositan $100 durante 5 meses al 5% de interés compuesto mensual, el monto acumulado es
M5 =

b) Si se depositan $100 durante 12 meses al 5% de interés compuesto mensual, el monto acumulado es
M12 =

c) Si se depositan $100 durante n meses al 5% de interés compuesto mensual, la fórmula que sirve para calcular el monto acumulado es ………………………….

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d) Si se depositan $100 durante 12 meses al 3% mensual, el monto acumulado es ……………………

e) Si se depositan $100 durante n meses con un interés compuesto mensual i, la fórmula que permite calcular el monto acumulado es …………………….

f) Si se deposita un capital inicial C_0 durante n meses con un interés mensual i, la fórmula que permite calcular el monto acumulado es ………………………

Funciones lineales y zoología

Entre los ciervos de América del Sur, el ciervo de los pantanos es el de mayor tamaño, ya que su altura, del lomo al suelo, oscila entre 1,10 m y 1,20 m. Su pelaje es de color rojizo en el verano, pero en época invernal cambia a un tono más pardo. Alrededor de los ojos, tiene círculos de pelaje blanco que lo cara.eterizan. Presenta una cornamenta, por lo general muy desarrollada, con un ancho de unos 60 cm, y que, lamentablemente, es un preciado trofeo para el enemigo que
pone en riesgo a su especie: el cazador furtivo.

Un estudiante de Veterinaria, preocupado por la protección de las especies en peligro de extinción, encuentra en un libro una fórmula que relaciona, con cierta aproximación, el peso promedio P (en gramos) de la cornamenta de un ciervo con la edad E (en meses) del ciervo.

P(E) = mE + b

Luego de analizar algunos ejemplares de la misma especie, registra que los ciervos de 70 meses ·suelen tener una cornamenta de medio kilo, y que el peso de esta suele aumentar 70 gramos cada 8 meses.

a) Si la especie analizada responde a la fórmula anterior, ¿cuáles. son los valores de m y de b?

b) Representen gráficamente la función P(E).

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c) ¿A qué edad, la cornamenta de un ciervo alcanza un peso de alrededor de 150 gramos?

d) Si la vida media de un ciervo es de 8 años, ¿cuánto pesaría, aproximadamente, su cornamenta al final de su vida?

Los números naturales

El conjunto de los números naturales es

\mathbb{N} = {1; 2; 3; 4; …}

Tiene primer elemento: el 1.

Si incluimos el cero, es \mathbb{N}_0 = {0; 1; 2; 3; 4; …}

  • Todo número natural n tiene su siguiente o consecutivo: n + l.
  • Además de utilizarlos para contar, los números naturales se usan para identificar, como en el caso de:
    – las chapas patentes de los automóviles o los números de documentos,
    y para ordenar, por ejemplo,
    – los lugares que ocupan los equipos de fútbol en la tabla de posiciones.
  • Los números naturales conforman un conjunto ordenado, y se los representa mediante puntos en la recta numérica.

Encuentro

Eliana y Sabrina van en bicicleta desde el club hacia la casa de Andrea por el mismo camino. Eliana sale primero a una velocidad de 100 m/min, y Sabrina sale 5 minutos después a 150 m/min.

Completen las siguientes tablas que representan la distancia d (en metros) recorrida, en función del tiempo t (en minutos) que llevan de viaje.

Grafique los puntos en ambas tablas en el mismo sistema cartesiano.

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Para cada uno de los desplazamientos encuentre la fórmula que permita calcular la distancia recorrida en cada momento t del viaje.

a) ¿Quién llega primero a la casa de Andrea si ella vive a 3 Km del club?

b) Durante el viaje, ¿se cruzan? ¿en qué momento?

Solución

Depreciación

Un servidor web tiene un valor original de $10,000 y debe depreciarse (disminuir su valor) durante 5 años con un valor de recuperación de $3000. Encuentre una expresión que dé el valor en libros al final del año t. ¿Cuál será el valor en libros del servidor al final del tercer año? ¿Cuál es la tasa de depreciación del servidor?

Lo primero que debemos obtener es el valor que pierde por año:

\dfrac{Valor \ final\ - \ Valor \ inicial}{Tiempo}


Dicho valor será la tasa de depreciación por año.

Ahora representaremos los datos obtenidos gráficamente. Tenemos dos puntos (0,10000) y (5,3000). Trazamos la recta que pasa por dichos puntos y buscamos su ecuación.

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f(t)= \ldots

Para encontrar el valor del servidor a los tres años, tenemos dos opciones:

  • A partir de la fórmula f(t), reemplazando t por 3.
  • A partir del gráfico, buscando la intersección con la recta t=3.

Perímetro y Superficie

Como recordarán, la superficie de un rectángulo es igual al producto entre su base y su altura y el perímetro es la suma de los lados. En este problema Julian tiene 20 metros de alambre y tiene que usarlos para cercar un jardín. Arma varios posibles rectángulos. En principio, el creía que todos los rectángulos tendrían la misma superficie dado que el perímetro siempre es el mismo. Sin embargo, empezó a probar con dos ejemplos:

  • Si la base tiene un metro, la altura debe medir 9 metros (la suma de la base y la altura equivale a la mitad del perímetro).
  • Si la base mide 8 metros, la altura serán de 2 metros.

Ayuden a Julian y completen las dos tablas siguientes:


Representen gráficamente en un sistema cartesiano los puntos dados por la segunda tabla la segunda tabla.

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Un rectángulo puede girarse 90°, observamos que cambia la base, pero no la superficie.

Esto nos da a entender que la gráfica tendrá una cierta simetría.

Usando las expresiones simbólicas de la última fila de la primera tabla, escriba una expresión para la superficie del rectángulo. Escriba lo obtenido en la casilla de entrada del GeoGebra, la curva debería pasar por todos los puntos marcados anteriormente.

¿Entre qué valores se puede tomar la base del rectángulo?

¿Para que valor de la base se obtiene la mayor superficie?

La escala Fahrenheit

En algunos países anglosajones, como Estados Unidos e Inglaterra, se siguen utilizando unidades de medidas distintas a las nuestras. Seguramente, en algunas series y películas, habrán escuchado hablar de pulgadas, millas, galones, acres y libras.

La relación entre estas medidas y las que usamos cotidianamente en la Argentina es de proporcionalidad directa. No existe la misma relación entre las unidades que usamos, respectivamente para medir la temperatura. Los países anglosajones han adoptado como unidad el grado Fahrenheit, y en la Argentina utilizamos el grado Celsius.

Si colocáramos un termómetro de cada tipo de recipiente con hielo, podríamos observar que el termómetro Celsius indica 0°C y el Fahrenheit, 32°F. Al poner los recipientes a calentar y llegar a la ebullición, el Celsius indica 100°C y el Fahrenheit 212°F.

\dfrac{100^{\circ}C-0 ^{\circ} C}{10}=10 ^{\circ} C


\dfrac{212^{\circ}F-32 ^{\circ} F}{10}=18 ^{\circ} F

Es decir, 10°C equivalen a 18°F.

Completen la tabla y realicen la gráfica de la función entre grados Celsius y grados Fahrenheit.

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¿Es lineal la relación entre las dos escalas? Unir si es posible los puntos con una recta.

Decaimiento exponencial 2

Con la actividad anterior encontramos que la expresión:

C(t)=100(1/2)^t, \quad   t \geq 0

relaciona la cantidad de cierta sustancia (en gramos) con el tiempo (en años). Manipular dicha expresión nos permite resolver varias situaciones de una forma más sencilla.

a) ¿Qué valor de t permite encontrar la cantidad inicial de sustancia C_0?
b) Después de 5 años, ¿cuál es la cantidad de sustancia?
c) ¿Cuánto tardan en reducirse los 100 gramos iniciales a 1 gramo?
d) ¿Qué cantidad de sustancia hay después de 100 días?

Ahora vamos a buscar una expresión equivalente, pero vamos a cambiar la base de la función exponencial.

C(t)=100 \ 2^{mt}

C(t)=100 \ e^{-kt}

¿Cuál es el valor de m?
¿Cuál es el valor de k?

El valor de k recibe el nombre de constante de decaimiento.

Degradación radiactiva

Las sustancias radiactivas se degradan exponencialmente. La vida media de una sustancia radiactiva es el tiempo requerido para que una cantidad se reduzca a la mitad. La cantidad de radio en cualquier tiempo obedece a la ley:

C(t)=C_0 \ e^{-kt}

C_0 es la cantidad inicial y k la constante de decaimiento positiva.
La vida media del radio es de 1600 años.
Suponga que inicialmente tenemos 200 miligramos de radio puro. Encuentre la cantidad de queda después de t años. ¿Cuál es la cantidad que queda después de 800 años?

Funciones – Decaimiento exponencial

Supongamos que la cantidad de una sustancia disminuye de manera directamente proporcional a su tamaño. Está cantidad puede ser descripta por una función exponencial.

Comencemos con construyendo el gráfico que relaciona la cantidad de sustancia (en gramos) con el tiempo (en años). Para ello supongamos que empezamos con 100 gramos y que la sustancia pierde el 50% por año, o sea transcurrido un año, queda la mitad de la sustancia.

Construya el gráfico para los primeros 8 años.

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Teniendo en cuenta que para una cantidad debe quedarse con la mitad de la anterior, sería bueno que propongamos una función que pase por todos los puntos del gráfico.

C(t)=

C: representa la cantidad de sustancia

t: representa el tiempo

Solución