Crecimiento geométrico

En las transacciones financieras, se llama interés compuesto al interés que se calcula teniendo en cuenta tanto el capital inicial como el interés acumulado en períodos anteriores al considerado. Un capital inicial C_0 = \$100 se deposita en un banco que otorga un 5% de interés compuesto mensual.

Completen. la siguiente tabla, que relaciona el tiempo del depósito con el monto obtenido. Recuerden que llamamos monto a la suma del capital inicial y el interés.

Tomen como referencia la tabla de la actividad anterior y completen las siguientes frases:

a) Si se depositan $100 durante 5 meses al 5% de interés compuesto mensual, el monto acumulado es
M5 =

b) Si se depositan $100 durante 12 meses al 5% de interés compuesto mensual, el monto acumulado es
M12 =

c) Si se depositan $100 durante n meses al 5% de interés compuesto mensual, la fórmula que sirve para calcular el monto acumulado es ………………………….

Ver en GeoGebra

d) Si se depositan $100 durante 12 meses al 3% mensual, el monto acumulado es ……………………

e) Si se depositan $100 durante n meses con un interés compuesto mensual i, la fórmula que permite calcular el monto acumulado es …………………….

f) Si se deposita un capital inicial C_0 durante n meses con un interés mensual i, la fórmula que permite calcular el monto acumulado es ………………………

Decaimiento exponencial 2

Con la actividad anterior encontramos que la expresión:

C(t)=100(1/2)^t, \quad   t \geq 0

relaciona la cantidad de cierta sustancia (en gramos) con el tiempo (en años). Manipular dicha expresión nos permite resolver varias situaciones de una forma más sencilla.

a) ¿Qué valor de t permite encontrar la cantidad inicial de sustancia C_0?
b) Después de 5 años, ¿cuál es la cantidad de sustancia?
c) ¿Cuánto tardan en reducirse los 100 gramos iniciales a 1 gramo?
d) ¿Qué cantidad de sustancia hay después de 100 días?

Ahora vamos a buscar una expresión equivalente, pero vamos a cambiar la base de la función exponencial.

C(t)=100 \ 2^{mt}

C(t)=100 \ e^{-kt}

¿Cuál es el valor de m?
¿Cuál es el valor de k?

El valor de k recibe el nombre de constante de decaimiento.

Degradación radiactiva

Las sustancias radiactivas se degradan exponencialmente. La vida media de una sustancia radiactiva es el tiempo requerido para que una cantidad se reduzca a la mitad. La cantidad de radio en cualquier tiempo obedece a la ley:

C(t)=C_0 \ e^{-kt}

C_0 es la cantidad inicial y k la constante de decaimiento positiva.
La vida media del radio es de 1600 años.
Suponga que inicialmente tenemos 200 miligramos de radio puro. Encuentre la cantidad de queda después de t años. ¿Cuál es la cantidad que queda después de 800 años?

Funciones – Decaimiento exponencial

Supongamos que la cantidad de una sustancia disminuye de manera directamente proporcional a su tamaño. Está cantidad puede ser descripta por una función exponencial.

Comencemos con construyendo el gráfico que relaciona la cantidad de sustancia (en gramos) con el tiempo (en años). Para ello supongamos que empezamos con 100 gramos y que la sustancia pierde el 50% por año, o sea transcurrido un año, queda la mitad de la sustancia.

Construya el gráfico para los primeros 8 años.

En GeoGebra

Teniendo en cuenta que para una cantidad debe quedarse con la mitad de la anterior, sería bueno que propongamos una función que pase por todos los puntos del gráfico.

C(t)=

C: representa la cantidad de sustancia

t: representa el tiempo

Solución

El modelo exponencial

En la actualidad, la mayoría de las entidades financieras trabajan dando interés compuesto sobre los depósitos. Sintéticamente, esto significa que los intereses se acoplan al capital y también generan intereses. El caso que vamos a considerar es un banco que otorga intereses en forma tal que el capital depositado se duplica al cabo de cada año transcurrido.

Supongan que una persona deposita $1 en este banco y que no hace ningún retiro.

Completen la siguiente tabla y realicen el gráfico correspondiente. GeoGebra

Encuentren una fórmula que permita de calcular el dinero acumulado D en función del tiempo transcurrido t.

¿Al cabo de cuanto tiempo se llega a acumular $256?

¿Cuánto dinero se acumula al cabo de 10 años?

Ángulo orientado

Un ángulo orientado está formado por dos semirrectas con el mismo origen. Las semirrectas son los lados del ángulo y el origen común se llama vértice del ángulo. Uno de los lados es el lado inicial y el otro se llama lado terminal.

Posición normal del ángulo orientado

El ángulo orientado puede ubicarse en un sistema cartesiano de tal manera que su vértice coincide con el origen del sistema y su lado inicial con el semieje positivo x. En ese caso se dice que el ángulo orientado está en posición normal.

Ángulos orientados + y –

Los ángulos orientados pueden tener dos sentidos de giro:

  • Sentido positivo: contrario al movimiento de las agujas del reloj.
  • Sentido negativo: movimiento de las agujas del reloj.

 


Medición de ángulos en radianes

Para medir ángulos en radianes siempre debemos usar la expresión:

\theta = \dfrac{s}{r}

donde s indica la longitud de arco y s la longitud de radio.

Supongamos ahora que tenemos un ángulo de 1 giro (360°).

\theta = \dfrac{s}{r}= \dfrac{2 \pi r}{r}= 2\pi

Es decir que tenemos las siguientes equivalencias:

360^{\circ}=2\pi
180^{\circ}=\pi
60^{\circ}=\dfrac{\pi}{3}
30^{\circ}=\dfrac{\pi}{6}
90^{\circ}=\dfrac{\pi}{2}
45^{\circ}=\dfrac{\pi}{4}


Academia Khan – Radianes y grados

De todas las equivalencias vamos a usar la más simple para pasar la medida de un ángulo en grados a radianes y viceversa.

1800^{\circ} = \pi

Si queremos pasar de grados a radianes:

\dfrac{180^{\circ}}{\alpha} = \dfrac{\pi}{\theta}

\theta = \dfrac{\alpha \ \pi}{180^{\circ}}

Si queremos pasar de radianes a grados:

\dfrac{180^{\circ}}{\alpha} = \dfrac{\pi}{\theta}

\alpha = \dfrac{\theta \ 180^{\circ}}{\pi}

Radián

El radián es una unidad de medición de ángulos.

Para saber que ángulo tiene una amplitud igual a un radián debemos construir una circunferencia con un radio r haciendo centro en el vértice del ángulo.

El radián es la medida de un ángulo cuya longitud del arco que abarca es igual a la longitud del radio de la circunferencia.

Si la longitud del arco s y la longitud del radio r son iguales la amplitud del ángulo α mide 1 radián.

Para encontrar la medida de un ángulo en radianes siempre debemos dividir la longitud de arco con la longitud del radio. Para el ángulo que estamos viendo esas longitudes son iguales, por lo tanto, la división es uno.

\alpha = \dfrac{long. \ s}{long. \ r}=1


Academia Khan – Introducción a radianes

Sistema sexagesimal de medición de ángulos

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración posicional que emplea la base sesenta. Tuvo su origen en la antigua Babilonia. A diferencia de la mayoría de los demás sistemas de numeración, el sexagesimal no se usa mucho, pero sí en la medición de ángulos y coordenadas geométricas. La unidad estándar en sexagesimal es el grado. Un ángulo de un giro se divide en 360 grados. Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos (1/60 de grado) y segundos (1/60 de minuto). Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medición del tiempo. Hay 24 horas en un día, 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto. Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal.

1 \ Giro = 360^{\circ}
1 \ Llano = 180^{\circ}
1 \ Recto = 90^{\circ}

1 \ minuto = 1' = \frac{1}{60} 1^{\circ}
1^{\circ}=60'
1 \ segundo = 1'' = \frac{1}{60} 1'
1' = 60 ''