Ángulo orientado

Un ángulo orientado está formado por dos semirrectas con el mismo origen. Las semirrectas son los lados del ángulo y el origen común se llama vértice del ángulo. Uno de los lados es el lado inicial y el otro se llama lado terminal.

Posición normal del ángulo orientado

El ángulo orientado puede ubicarse en un sistema cartesiano de tal manera que su vértice coincide con el origen del sistema y su lado inicial con el semieje positivo x. En ese caso se dice que el ángulo orientado está en posición normal.

Ángulos orientados + y –

Los ángulos orientados pueden tener dos sentidos de giro:

  • Sentido positivo: contrario al movimiento de las agujas del reloj.
  • Sentido negativo: movimiento de las agujas del reloj.

 


Medición de ángulos en radianes

Para medir ángulos en radianes siempre debemos usar la expresión:

\theta = \dfrac{s}{r}

donde s indica la longitud de arco y s la longitud de radio.

Supongamos ahora que tenemos un ángulo de 1 giro (360°).

\theta = \dfrac{s}{r}= \dfrac{2 \pi r}{r}= 2\pi

Es decir que tenemos las siguientes equivalencias:

360^{\circ}=2\pi
180^{\circ}=\pi
60^{\circ}=\dfrac{\pi}{3}
30^{\circ}=\dfrac{\pi}{6}
90^{\circ}=\dfrac{\pi}{2}
45^{\circ}=\dfrac{\pi}{4}


Academia Khan – Radianes y grados

De todas las equivalencias vamos a usar la más simple para pasar la medida de un ángulo en grados a radianes y viceversa.

1800^{\circ} = \pi

Si queremos pasar de grados a radianes:

\dfrac{180^{\circ}}{\alpha} = \dfrac{\pi}{\theta}

\theta = \dfrac{\alpha \ \pi}{180^{\circ}}

Si queremos pasar de radianes a grados:

\dfrac{180^{\circ}}{\alpha} = \dfrac{\pi}{\theta}

\alpha = \dfrac{\theta \ 180^{\circ}}{\pi}

Radián

El radián es una unidad de medición de ángulos.

Para saber que ángulo tiene una amplitud igual a un radián debemos construir una circunferencia con un radio r haciendo centro en el vértice del ángulo.

El radián es la medida de un ángulo cuya longitud del arco que abarca es igual a la longitud del radio de la circunferencia.

Si la longitud del arco s y la longitud del radio r son iguales la amplitud del ángulo α mide 1 radián.

Para encontrar la medida de un ángulo en radianes siempre debemos dividir la longitud de arco con la longitud del radio. Para el ángulo que estamos viendo esas longitudes son iguales, por lo tanto, la división es uno.

\alpha = \dfrac{long. \ s}{long. \ r}=1


Academia Khan – Introducción a radianes