Solución 1.1.51

Encuentre una expresión para la función cuya gráfica es la curva dada.

El segmento de recta que une los puntos (1, -3) y (5, 7).

Lo primero que haremos es encontrar la pendiente que pasa por los puntos y la llamaremos m.

m= \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{7+3}{5-1}=\dfrac{5}{2}

Ahora buscaremos la ecuación explícita de la recta que pasa por los puntos dados:

 m= \dfrac{y-y_1}{x-x_1}=\dfrac{y+3}{x-1}


y+3=5/2(x-1) \quad \quad y=\frac{5}{2} x-\frac{11}{2}


Por lo tanto nuestra función será:

f(x)=\dfrac{5}{2}x- \dfrac{11}{2} \quad 1 \leq x \leq 5

En GeoGebra

Solución 1.1.3

La gráfica de una función f está dada.
a) Establezca el valor de f (1).
3
b) Estime el valor de f (-1).
-0.3
c) ¿Para qué valores de x es f (x) = 1?
0 y 3
d) Estime el valor de x tal que f (x) = 0.
-0.69
e) Establezca el dominio y el rango de f.
Dominio=[-2,4]
Imagen=[-1,3]
f) ¿Sobre qué intervalo es creciente f ?
[-2,1]

Ver en Desmos

Solución 1.1.1

Sabiendo que: f(x)=x+\sqrt{2-x} y g(u)=u+\sqrt{2-u}

¿es verdad que f=g?

Las funciones f y g son exactamente los mismos valores de salida (y) para cada valor de entrada (x). Por lo tanto las funciones f y g son iguales.

Ver en Desmos

Stewart, J. (2012).
Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. Séptima Edición.
México D.F..: CENGAGE Learning

Solución – Optimización 5

La gerencia de la tienda departamental ÚNICO ha decidido incluir un área de 800 m^2 en la zona exterior del edificio para exponer las plantas en macetas y flores. Un lado estará formado por la pared exterior de la tienda, dos partes estarán construidas con tablas de pino y el cuarto lado se hará con valla de acero galvanizado. Si la tabla de pino cuesta $6 por metro y la valla de acero galvanizado $3 por metro, determine las dimensiones del recinto que puede levantar a un costo mínimo

Llamemos t a la longitud de las paredes con tabla y a a la longitud de la pared de acero.

El área del terreno será:

A=a.t=800

El costo de la pared

C=6.2t+3a=12t+3a

Como tenemos una función de dos variables, despejamos a de la primera ecuación

$lates a=800/t$

Luego reemplazamos en la segunda ecuación:

C(t)=12t+\dfrac{2400}{t}

La gráfica de la función nos queda

En GeoGebra

Para obtener el menor costo posible, debemos buscar el mínimo de la función.

Para ello vamos a derivar e igualar a cero la función derivada

C'(t)=12-\dfrac{2400}{t^2}=0

y resolver la ecuación que queda para tener los valores críticos

t=14,14 \ metros

Y el valor mínimo del costo será: $339,41

Solución – Zoología

Entre los ciervos de América del Sur, el ciervo de los pantanos es el de mayor tamaño, ya que su altura, del lomo al suelo, oscila entre 1,10 m y 1,20 m. Su pelaje es de color rojizo en el verano, pero en época invernal cambia a un tono más pardo. Alrededor de los ojos, tiene círculos de pelaje blanco que lo cara.eterizan. Presenta una cornamenta, por lo general muy desarrollada, con un ancho de unos 60 cm, y que, lamentablemente, es un preciado trofeo para el enemigo que
pone en riesgo a su especie: el cazador furtivo.

Un estudiante de Veterinaria, preocupado por la protección de las especies en peligro de extinción, encuentra en un libro una fórmula que relaciona, con cierta aproximación, el peso promedio P (en gramos) de la cornamenta de un ciervo con la edad E (en meses) del ciervo.

P(E) = mE + b

Luego de analizar algunos ejemplares de la misma especie, registra que los ciervos de 70 meses ·suelen tener una cornamenta de medio kilo, y que el peso de esta suele aumentar 70 gramos cada 8 meses.

a) Si la especie analizada responde a la fórmula anterior, ¿cuáles. son los valores de m y de b?

m representa la pendiente de la recta e indicaría la velocidad con la aumenta el peso de la cornamenta, 70 gramos / 8 meses.

b representa la ordenada al origen de la recta e indicaría el peso de la cornamenta al nacer el ciervo, si este valor es negativo no quiere decir que al nacer el ciervo no tiene todavía su cornamenta desarrollada.

b) Representen gráficamente la función P(E).

Para la representación usamos los datos. Primero sabemos que a los 70 meses la cornamenta pesa aproximadamente 500 gramos. Marcamos el punto A(70,500).
Luego sabemos que en 8 meses aumenta 70 gramos, marcamos el punto B(78,570).
Finalmente trazamos la recta que pasa por esos dos puntos y observamos la ecuación de dicha recta.

En GeoGebra

c) ¿A qué edad, la cornamenta de un ciervo alcanza un peso de alrededor de 150 gramos?

Trazamos la recta y=150 y buscamos el punto de intersección C.

d) Si la vida media de un ciervo es de 8 años, ¿cuánto pesaría, aproximadamente, su cornamenta al final de su vida?

Trazamos la recta x=96, porque 96 meses representan 8 años y buscamos el punto de intersección D.